4徳島大学 2011年 数学 第4問解答・解説

X,Yを掛けると $$\displaystyle A=XY=\frac14\begin{pmatrix}\sqrt6&-\sqrt2\\ \sqrt2&\sqrt6\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\[2pt]\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}.$$ したがって $k=1/\sqrt2$、$\cos\theta=\sqrt3/2,\ \sin\theta=1/2$ より $\theta=\pi/6$。 初期点の原点からの距離は $2\times10^8$、偏角は $2\pi/3$ であるから $$\displaystyle |P_n|=2\times10^8\,2^{-n/2},\qquad \arg P_n\equiv\frac{2\pi}{3}+\frac{n\pi}{6}\pmod{2\pi}.$$ (2) $|P_n|<1$ は $n>2(8+0.3010)/0.3010\simeq55.16$ と同値なので最小値は $56$。 (3) $2^8<|P_n|<2^{15}$ より $$\displaystyle 8<1+\frac{8}{0.3010}-\frac n2<15,$$ 従って整数 $n$ は $26\le n\le39$。また $y>|x|$ は偏角が $\pi/4$ と $3\pi/4$ の間にあることを表す。偏角の式から $n\equiv10,11,0\pmod{12}$。この範囲との共通部分は $n=34,35,36$。

行列 $A$ は倍率 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$ の回転で、回転角は $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ です。初期点は長さ $2\times10^8$、偏角 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ なので、n回後の長さは $2\times10^8\cdot2^{-n/2}$、偏角は $\displaystyle \frac{2\pi}{3}+\frac{n\pi}{6}$（$2\pi$ を法として）です。(2)では長さが $1$ 未満となる条件を常用対数で解き、最小の整数を選びます。(3)の長さ条件は $26\le n\le39$ に絞られます。$y>|x|$ の偏角条件に合う剰余類は $n\equiv10,11,0\pmod{12}$ であり、該当するnは $34,35,36$ です。