1神戸大学 2009年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-97c85b1a92d2-Q1 結論　 $\displaystyle \text{(1)}\; f''(x)=-\frac{(a-b)^2}{\{b+(a-b)x\}^2}<0.\quad \text{(2)}\; c=\frac{1}{\log(a/b)}-\frac{b}{a-b}\quad(0<c<1)\text{ が唯一の解}.\quad \text{(3)}\; ax+b(1-x)\geq a^x b^{1-x}\quad(0\leq x\leq1),\text{ 等号は }x=0,1.$　 　 (1) $d=a-b>0$ とおくと、$ax+b(1-x)=b+dx$ である。したがって $$\displaystyle f'(x)=\frac{d}{b+dx}-\log\frac{a}{b},\qquad f''(x)=-\frac{d^2}{(b+dx)^2}.$$ $b+dx\geq b>0$ だから、$0<x<1$ で $f''(x)<0$ である。

(2) $\displaystyle r=\frac{a}{b}>1$ とおく。$f'(c)=0$ を解くと $$\displaystyle c=\frac{1}{\log r}-\frac{1}{r-1}.$$ これが区間内にあることを示す。関数 $$\displaystyle p(r)=r-1-\log r,\qquad q(r)=\log r-1+\frac1r$$ について、$p(1)=q(1)=0$ であり、$r>1$ では $$\displaystyle p'(r)=1-\frac1r>0,\qquad q'(r)=\frac{r-1}{r^2}>0.$$ よって $$\displaystyle \frac{r-1}{r}<\log r<r-1.$$ したがって $$\displaystyle \frac1{\log r}>\frac1{r-1},\qquad \frac1{\log r}<\frac{r}{r-1},$$ ゆえに $0<c<1$ である。また、(1) より $0<u<v<1$ なら $f'(u)>f'(v)$ が成り立つので、$f'(c)=0$ をみたす $c$ はただ一つである。

(3) $f(0)=f(1)=0$ である。上の大小関係と $f'(c)=0$ から、$0<x<c$ では $f'(x)>0$、$c<x<1$ では $f'(x)<0$ である。したがって $f$ は $0\le x\le c$ で増加し $c\le x\le1$ で減少するので、 $$f(x)\geq 0\quad(0\leq x\leq1)$$ であり、等号は $x=0,1$ のときに限る。さらに、対数の性質より $$\displaystyle f(x)=\log\left(\frac{ax+b(1-x)}{a^x b^{1-x}}\right).$$ 分子・分母は正であり、対数関数は増加するから $$\displaystyle \frac{ax+b(1-x)}{a^x b^{1-x}}\geq1,$$ すなわち $$ax+b(1-x)\geq a^x b^{1-x}.$$ 等号は $x=0,1$ で成立する。