3長崎大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $t=\sin\theta$ とおくと $0\leq t\leq1$, $\cos^2\theta=1-t^2$ だから $$4\sin^3\theta+3\cos^2\theta=4t^3-3t^2+3.$$ ここで $$\displaystyle (4t^3-3t^2+3)-\frac{11}{4} =\left(t-\frac12\right)^2(4t+1)\geq 0$$ であり、等号は $\displaystyle t=\frac12$ のときに成り立つ。また $$4-(4t^3-3t^2+3)=(1-t)(4t^2+t+1)\geq 0$$ であり、等号は $t=1$ のときに成り立つ。したがって最小値は $\displaystyle \frac{11}{4}$、最大値は $4$ である。$0\leq\theta\leq\pi$ において $\displaystyle \sin\theta=\frac12$ となるのは $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$、$\sin\theta=1$ となるのは $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ である。

(2)　 $x>e$ では $y=x^{1/x}>0$ であるから、両辺の対数をとると $$\displaystyle \ln y=\frac{\ln x}{x}.$$ これを $x$ について微分して $$\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ $x>e$ より $\ln x>1$ であるため、右辺は負である。$y>0$ だから $y'<0$ となり、$y$ は $x>e$ で減少する。 さらに $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{x}$ とおけば、上式から $$\displaystyle g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0\qquad (x>e)$$ である。したがって $e<a<b$ なら $g(a)>g(b)$、すなわち $$\displaystyle \frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}.$$ $ab>0$ を掛けると $b\ln a>a\ln b$ を得る。指数関数は増加するから $$a^b=\exp(b\ln a)>\exp(a\ln b)=b^a$$ である。

(3)　 $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &=\left(\frac34\right)^{n+1}n(n+1)-\left(\frac34\right)^n n(n-1)\\ &=\frac14\left(\frac34\right)^n n(7-n). \end{aligned}$$ 正の整数 $n$ について、この差は $1\leq n\leq 6$ で正、$n=7$ で $0$、$n\geq 8$ で負である。よって $$a_1<a_2<\cdots<a_7=a_8>a_9>a_{10}>\cdots$$ となり、$a_n$ が最大となる正の整数は $n=7,8$ である。