5新潟大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 定義から $$\displaystyle f_2(x)=\int_0^x\left(1-\frac{t^2}{2}\right)dt=x-\frac{x^3}{3!},\qquad f_3(x)=1-\int_0^x\left(t-\frac{t^3}{3!}\right)dt=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}.$$

(2) $0<x\le1$ では与えられた不等式を $t$ について 0 から $x$ まで積分して $$\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4!}<1-\cos x<\frac{x^2}{2}$$ を得る。したがって $$\displaystyle -\frac{x^4}{4!}<1-\frac{x^2}{2}-\cos x<0,$$ ゆえに求める弱い不等式が成り立つ。$x=0$ では両辺とも 0 である。

(3) $E_m(x)=f_{2m-1}(x)-\cos x$ とおく。定義より $\displaystyle f_{2m+1}(x)=1-\int_0^x\int_0^s f_{2m-1}(t)\,dt\,ds$ であり、$\displaystyle \cos x=1-\int_0^x\int_0^s\cos t\,dt\,ds$ だから、 $$\displaystyle E_{m+1}(x)=-\int_0^x\int_0^s E_m(t)\,dt\,ds.$$

(2) は $m=1$ の場合である。ある $m$ で $|E_m(t)|\le t^{2m+2}/(2m+2)!$ が $0\le t\le1$ で成り立つと仮定すると、 $$\displaystyle |E_{m+1}(x)|\le\int_0^x\int_0^s\frac{t^{2m+2}}{(2m+2)!}\,dt\,ds=\frac{x^{2m+4}}{(2m+4)!}\quad(0\le x\le1).$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数 $m$ で所定の不等式が成り立つ。

(4) $x=\pi/6$ は $0\le x\le1$ を満たす。(3) より $$\displaystyle \left|f_{2m-1}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)-\cos\frac{\pi}{6}\right|\le\frac{(\pi/6)^{2m+2}}{(2m+2)!}\longrightarrow0.$$ したがって極限は $\displaystyle \cos(\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2}$ である。