新潟大学 2015年数学第3問解答・解説

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1問題

新潟大学2015年度第3問

座標平面上の原点 $O$ を中心とする半径1の円周 $C$ 上の点を $A(a,b)$ とし， $f(x)=(x-a)^2+b$ とする。点 $B(0,-2)$ から放物線 $y=f(x)$ に引いた接線を $l_1,l_2$ とし，接点をそれぞれ $P(p,f(p)),Q(q,f(q))$ とする。ただし $p<q$ である。放物線 $y=f(x)$ と2直線 $l_1,l_2$ とで囲まれた部分の面積を $S$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 接線 $l_1$ の方程式と接点 $P$ の座標，および接線 $l_2$ の方程式と接点 $Q$ の座標を $a,b$ を用いて表せ。

(2) 面積 $S$ を $b$ を用いて表せ。

(3) 点 $A$ が円周 $C$ 上を動くとき，面積 $S$ の最大値とそのときの点 $A$ の座標 $(a,b)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$\displaystyle \begin{aligned}(1)\quad &d=\sqrt{a^2+b+2}=\sqrt{3+b-b^2},\quad p=-d,\ q=d,\\&l_1:y=-2-2(a+d)x,\quad P=(-d,(a+d)^2+b),\\&l_2:y=-2+2(d-a)x,\quad Q=(d,(d-a)^2+b).\\(2)\quad&S=\frac{2}{3}(3+b-b^2)^{3/2}.\\(3)\quad&S_{\max}=\frac{13\sqrt{13}}{12},\quad A=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)\ \text{または}\ \left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).\end{aligned}$

この問題で使う考え方

二次関数の最大・最小
円の方程式
微分係数と導関数
接線の方程式
不定積分
定積分
定積分による面積

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