2京都大学 2009年 数学 第2問解答・解説

鋭角三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$、その半径を $R$ とする。辺 $BC$ の小弧の中点を $D_a$、大弧の中点を $E_a$ とする。$D_b,D_c,E_b,E_c$ も同様に定める。

まず $P$ が内心 $I$ のとき、$D_a$ が $B,C,I$ を通る円の中心であることを示す。$BC$ を $x$ 軸上に置き、$B=(-R\sin A,0)$、$C=(R\sin A,0)$ とする。このとき外心は $O=(0,R\cos A)$、小弧の中点は $D_a=(0,R(\cos A-1))$ である。内心の座標を $I=(u,r)$ とおくと、半径と角の二等分線から $$\displaystyle r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2, \qquad u=-R\sin A+r\cot\frac B2 =2R\sin\frac A2\sin\frac{C-B}{2}.$$ したがって $$\displaystyle r+2R\sin^2\frac A2 =2R\sin\frac A2\cos\frac{C-B}{2},$$ ゆえに $$\displaystyle ID_a^2=u^2+\left(r+2R\sin^2\frac A2\right)^2 =4R^2\sin^2\frac A2.$$ 一方、弦 $D_aB$ の長さも $2R\sin(A/2)$ だから $ID_a=D_aB=D_aC$。よって $D_a$ は $B,C,I$ を通る円の中心であり、$A'=D_a$ である。同様に $B'=D_b,\ C'=D_c$。これらはすべて $\Gamma$ 上にあるから、$A,B,C,A',B',C'$ は同一円周上にある。

逆に、6点が同一円周上にあるとする。$A,B,C$ が定める円は $\Gamma$ なので、$A'$ は $\Gamma$ 上にある。$A'$ は $B,C$ から等距離にあり、$\Gamma$ と $BC$ の垂直二等分線との交点は $D_a,E_a$ である。

$A'\ne E_a$ を確認する。弧の長さから $$\displaystyle E_aB=2R\cos\frac A2,\qquad E_aA=2R\sin\frac{|B-C|}{2}<2R\sin\frac{B+C}{2}=2R\cos\frac A2.$$ したがって $A$ は中心 $E_a$、半径 $E_aB$ の円の内部にある。円板は凸で、$B,C$ はその円周上にあるため、三角形 $ABC$ の内部にある $P$ はこの円板の内部にあり、円周上にはない。$A'$ は $B,C,P$ を通る円の中心だから $P$ は中心 $A'$、半径 $A'B$ の円周上にある。よって $A'=E_a$ ではあり得ず、$A'=D_a$ である。同様に $B'=D_b$ となる。

以上より $P$ は中心 $D_a$、半径 $D_aB$ の円と、中心 $D_b$、半径 $D_bC$ の円の両方にある。これら2円は $C$ と内心 $I$ を共有する。$D_a\ne D_b$ なので2円は異なり、共有点は高々2点である。$P$ は三角形の内部にあり頂点 $C$ ではないから、$P=I$ である。

以上から、必要十分条件は $P$ が $\triangle ABC$ の内心に一致することである。