6京都大学 2009年 数学 第6問解答・解説

二項展開と $\sqrt2$ の係数の一意性から $$a_{n+1}=aa_n+2bb_n,\qquad b_{n+1}=ba_n+ab_n.$$ また $D=a^2-2b^2$ とおくと、共役との積より $$a_n^2-2b_n^2=(a+b\sqrt2)^n(a-b\sqrt2)^n=D^n.$$

(1) $a_2=a^2+2b^2$、$b_2=2ab$ である。$a$ は奇数なので $a_2$ も奇数である。共通素因数 $p$ があると仮定する。$p\mid b_2=2ab$ かつ $p\ne2$ より、$p\mid a$ または $p\mid b$ である。$p\mid a$ なら $p\mid a_2$ から $p\mid 2b^2$、したがって $p\mid b$ となる。$p\mid b$ の場合も $p\mid a_2$ から $p\mid a^2$、したがって $p\mid a$ となる。いずれも $\gcd(a,b)=1$ に反する。よって $$\gcd(a_2,b_2)=1.$$

(2) $a_1=a$ は奇数である。$a_n$ が奇数なら、漸化式から $$a_{n+1}=aa_n+2bb_n\equiv a a_n\equiv1\pmod2.$$ したがって帰納法により、すべての $n\ge1$ で $a_n$ は奇数である。

次に、ある $n\ge1$ で共通素因数 $p\mid a_n,b_n$ があると仮定する。$a_n$ は奇数なので $p\ne2$ である。またノルム恒等式より $p\mid D^n$、従って $p\mid D$ である。

まず、$2$ が法 $p$ で平方でないとする。もし $p\mid b$ なら $p\mid D=a^2-2b^2$ から $p\mid a^2$、従って $p\mid a$ となり、$\gcd(a,b)=1$ に反する。よって $p\nmid b$ であり、 $$a^2\equiv2b^2\pmod p \quad\text{より}\quad (ab^{-1})^2\equiv2\pmod p,$$ となる。これは $2$ が平方でないことに反する。

一方、$2$ が法 $p$ で平方なら、$r^2\equiv2\pmod p$ を満たす $r$ をとる。$(a+b\sqrt2)^n$ の係数表示を用いると $$(a+br)^n\equiv a_n+b_nr\equiv0,\qquad (a-br)^n\equiv a_n-b_nr\equiv0\pmod p.$$ $p$ は素数なので $a+br\equiv a-br\equiv0\pmod p$ である。差をとると $2br\equiv0\pmod p$。$p\ne2$ かつ $r\not\equiv0\pmod p$ より $p\mid b$、さらに $a+br\equiv0\pmod p$ から $p\mid a$ となり、$\gcd(a,b)=1$ に反する。

どちらの場合も矛盾するため、共通素因数は存在せず、$\gcd(a_n,b_n)=1$ である。以上で両方の主張が示された。

二項展開から係数の漸化式と共役積の恒等式を作る。奇数性は帰納法で示す。互いに素については共通素数 p を仮定し、2 が法 p で平方かどうかに分けて矛盾を導く。