1京都大学 2009年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{OP}$=(3,0,4s),　$\overrightarrow{OQ}$=(0,2,4t). 平面OPQに垂直なベクトルを$\mathbf n$=(a,b,c)とすると、$\mathbf n$$\cdot$$\overrightarrow{OP}$=$\mathbf n$$\cdot$$\overrightarrow{OQ}$=0. c=6と選べば3a+24s=0, 2b+24t=0より$\mathbf n$=(-8s,-12t,6). したがってDを通る垂線は( x,y,z )=(0,0,4)+$\lambda$(-8s,-12t,6). z=0とすると$\lambda$=-$\displaystyle \frac23$であり、交点Rは$\displaystyle \left(\frac{16s}{3},8t,0\right)$. 一方、AC上の点はuを0$\leq$ u$\leq$1として$\left(3(1-u),2u,0\right)$と表せる。RがAC上にある条件は$\displaystyle \frac{16s}{3}$=3(1-u), 8t=2u、すなわちu=1-$\displaystyle \frac{16s}{9}$=4t. よって$\displaystyle \frac{16s}{9}$+4t=1、すなわち16s+36t=9. 0<s,tよりu=4t>0かつu=1-$\displaystyle \frac{16s}{9}$<1なので交点は線分の内部にある。またt>0からs<$\displaystyle \frac{9}{16}$を得る。逆に0<s<$\displaystyle \frac{9}{16}$かつt=$\displaystyle \frac{9-16s}{36}$なら0<t<$\displaystyle \frac14$<1となり、u=4tは0<u<1であるためRは線分AC上にある。