5京都大学 2009年 数学 第5問解答・解説

極座標の曲線は $$x=(2+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=(2+\cos\theta)\sin\theta\quad(0\le\theta\le\pi).$$ $0<\theta<\pi$ で $dx/d\theta=-2\sin\theta(1+\cos\theta)<0$ だから、 $x$ は $3$ から $-1$ へ単調に動く。x軸回転の断面は半径 $y$ の円板なので $$\displaystyle V=2\pi\int_0^\pi(2+\cos\theta)^2(1+\cos\theta)\sin^3\theta\,d\theta.$$ $u=\cos\theta$ と置換すると $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\int_{-1}^{1}(2+u)^2(1+u)(1-u^2)\,du\\ &=2\pi\int_{-1}^{1}(4+8u+u^2-7u^3-5u^4-u^5)\,du\\ &=2\pi\left(8+\frac23-2\right)=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}$$