4京都大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$u_n=(x_n,y_n)^T=A^n(1,0)^T$ とし、$u_0=(1,0)^T$ とする。仮定から $a^2+c^2=1$。 $c=0$ なら $a=\pm1$ で $u_n=(a^n,0)^T$、よって長さは常に1。 以下 $c\ne0$ とする。$s=a+d$ とおくと $ad-bc=1$ より $$u_2=(a^2+bc,c(a+d))^T=(as-1,cs)^T=-u_0+su_1.$$ 長さの条件から $1=|u_2|^2=1+s(s-2a)$、従って $s=0$ または $s=2a$。 $s=0$ なら $u_2=-u_0$、これに $A^n$ を掛けて $u_{n+2}=-u_n$。初めの二項の長さが1なので全項1。 $s=2a$ なら $d=a$、$bc=a^2-1=-c^2$ なので $b=-c$。任意の実数 $x,y$ に対して $$(ax-cy)^2+(cx+ay)^2=(a^2+c^2)(x^2+y^2)=x^2+y^2.$$ したがって $A$ を掛けても長さは変わらず、帰納的に $|u_n|=1$ である。