2北海道大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$\tau=a+d$、$\Delta=ad-bc$、$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ とおく。行列積を成分ごとに計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix} =\tau A-\Delta I,$$ すなわち $$A^2-\tau A+\Delta I=O.\tag{*}$$ これはこの2次正方行列について成分計算で確かめた恒等式である。

（1）条件(i)は $\tau=\Delta=0$ を意味する。これを(*)に代入すると $A^2=O$、すなわち(ii)が成り立つ。

（2）(iii)を満たす最小の正整数を $k$ とする。$k=1$ なら $A=O$ なので $\Delta=0$。$k\ge2$ なら(*)の右から $A^{k-2}$ を掛けて $$A^k-\tau A^{k-1}+\Delta A^{k-2}=O$$ を得る。$A^k=O$ より $\Delta A^{k-2}=\tau A^{k-1}$。さらに右から $A$ を掛けると $$\Delta A^{k-1}=\tau A^k=O.$$ もし $\Delta\ne0$ なら $A^{k-1}=O$ となり、$k$ の最小性に反する。よって $\Delta=ad-bc=0$。

（3）同じ最小の $k$ を用いる。$k=1$ なら $A=O$ で、$\tau=\Delta=0$。$k\ge2$ なら（2）より $\Delta=0$。(*)に右から $A^{k-2}$ を掛けると $$A^k-\tau A^{k-1}=O.$$ $A^k=O$ だから $\tau A^{k-1}=O$。最小性より $A^{k-1}\ne O$ なので、少なくとも一つの成分が0でない。従って $\tau=0$。以上より $a+d=0$ かつ $ad-bc=0$、すなわち(i)が成り立つ。

τ=a+d、Δ=ad−bcとおくと、2×2成分計算からA²−τA+ΔI=Oが成り立つ。(1)はτ=Δ=0をこの恒等式に代入すれば成り立つ。(2)(3)は$A^k=O$となる最小の正整数kを使い、Δおよびτが0であることを最小性から順に示す。