北海道大学 2011年数学第5問解答・解説

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1問題

北海道大学2011年度第5問

$0 < a < 2\pi$ とする。 $0 < x < 2\pi$ に対して

$\displaystyle F (x) = \int_ {x} ^ {x + a} \sqrt {1 - \cos \theta} d \theta$

と定める。

(1) $F'(x)$ を求めよ。

(2) $F'(x) \leq 0$ となる x の範囲を求めよ。

(3) $F(x)$ の極大値および極小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合導関数の式と符号区間、極大・極小点、周期性を用いた積分値は採用解答と一致する。 $x+a$ が $2\pi$ を越える場合を周期性で処理しており、論証は高校範囲内。判定は PASS。

分類単元は三角関数、微分法、積分法。方法は積分端点の微分、半角公式、周期性による積分区間分割、導関数の符号判定。テーマは周期関数の移動積分の極値。

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