北海道大学 2011年数学第1問解答・解説

二次関数数学と人間の活動（整数）

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1問題

北海道大学2011年度第1問

実数 x に対して $k \leq x < k + 1$ を満たす整数 k を [x] で表す。

たとえば, [2] = 2, $\displaystyle \left[\frac{5}{2}\right] = 2$ , [-2.1] = -3 である。

(1) $\displaystyle n^{2}-n-\frac{5}{4}<0$ を満たす整数 n をすべて求めよ。

(2) $\displaystyle [x]^{2}-[x]-\frac{5}{4}<0$ を満たす実数 x の範囲を求めよ。

(3) x は (2) で求めた範囲にあるものとする。 $\displaystyle x^{2}-[x]-\frac{5}{4}=0$ を満たす x をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) n=0,1; (2) 0≤x<2; (3) x=3/2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 平方完成すると $\displaystyle n^2-n-\frac54=\left(n-\frac12\right)^2-\frac32<0$ より $(1-\sqrt6)/2<n<(1+\sqrt6)/2$ 。従って整数は $\boxed{n=0,1}$ 。 (2) $k=[x]$ は整数なので(1)より $k=0$ または $1$ 。定義から、それぞれ $0\le x<1$ 、 $1\le x<2$ 。従って $\boxed{0\le x<2}$ 。 (3) $0\le x<1$ では $[x]=0$ であり、方程式は $x^2=5/4$ 。その根 $\pm\sqrt5/2$ はどちらもこの区間に入らない。 $1\le x<2$ では $[x]=1$ であり、 $x^2=9/4$ 。根のうち区間に入るのは $\boxed{x=3/2}$ だけである。

この問題で使う考え方

平方完成
床関数の区間分割
解の範囲照合

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