3北海道大学 2011年 数学 第3問解答・解説

PDF p1全5問必答、p2印刷問3の3点と直線(t+2,t+2,t)を確認。医学科対応は固定書誌による。

(1) 円を$x^2+y^2+ux+vy+w=0$とおく。原点を通るので$w=0$、他の2点から$2u+v=u+2v=-5$。従って $$\displaystyle x^2+y^2-\frac53(x+y)=0.$$ (2) 中心$C(a,b,c)$から3点までの距離を等しくすると$4a+2b=2a+4b=5$。よって$a=b=5/6$、半径の二乗は$r^2=25/18+c^2$。直線の点$P(t)=(t+2,t+2,t)$との距離は $$\displaystyle CP(t)^2=2(t+7/6)^2+(t-c)^2=3(t-c/3+7/9)^2+\frac23(c+7/6)^2.$$ 球面と直線が共有点をもつのは、この二次式の最小値が$r^2$以下の場合と同値である。従って $$\displaystyle \frac23(c+7/6)^2\le\frac{25}{18}+c^2\quad\text{と同値な条件は}\quad (3c-1)(3c-13)\ge0.$$ 求める条件は、$a=b=5/6$ を満たし、さらに $c\le1/3$ または $c\ge13/3$ である。