1札幌医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) 平面は点 $A(0,1,3)$ を通るので、その方程式を $ux+v(y-1)+w(z-3)=0$ とおく。点 $B$ と点 $C$ を代入すると、それぞれ $-u+2v-w=0$、$u+v-4w=0$ を得る。これらから $3v=5w$ となるので、$w=3$ とすれば $v=5,\ u=7$ である。したがって平面の方程式は $7x+5(y-1)+3(z-3)=0$ である。これに $D(a,b,-1)$ を代入すると $7a+5(b-1)-12=0$、よって $7a+5b=17$。

(2)(i) $a_n>0$ なので対数をとることができる。漸化式から $b_{n+1}=\log_2(16a_n^3)=4+3b_n$ である。したがって $b_{n+1}+2=3(b_n+2)$ となり、$\{b_n+2\}$ は初項 $\log_2 a+2$、公比 $3$ の等比数列である。よって $b_n+2=3^{n-1}(\log_2 a+2)$、すなわち $b_n=3^{n-1}(\log_2 a+2)-2$。

(2)(ii) $a_n=2^{b_n}$ より、$\displaystyle a_n=2^{3^{n-1}(\log_2 a+2)-2}=\dfrac{(4a)^{3^{n-1}}}{4}$。$n=1$ を代入すると右辺は $a$ となり、初項にも一致する。

(2)(iii) すべての $n$ で $a_n=a$ ならば、とくに $a_2=a$ である。よって $16a^3=a$ であり、$a>0$ より $16a^2=1$、したがって $\displaystyle a=\dfrac14$。逆に $\displaystyle a=\dfrac14$ ならば $\displaystyle 16a^3=\dfrac14=a$ であるから、漸化式により各項はすべて $\displaystyle \dfrac14$ となる。

(3) $z=x+iy$ とおく。両辺は非負なので、与式を平方しても同値である。$4((x-4)^2+y^2)=9(x^2+(y-3)^2)$ を展開すると $5x^2+5y^2+32x-54y+17=0$ となる。これを平方完成すれば $\displaystyle \left(x+\dfrac{16}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{27}{5}\right)^2=36$。したがって、表す図形は中心 $\displaystyle \left(-\dfrac{16}{5},\dfrac{27}{5}\right)$、半径 $6$ の円である。