2札幌医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

点$P$を$(x,y)$とおくと、$x^2+y^2=1,\ y>0$である。

外心$Q$は$O,A$から等距離なので、$Q=(a/2,q)$と書ける。さらに$OQ=PQ$より $$\displaystyle \frac{a^2}{4}+q^2=\left(x-\frac a2\right)^2+(y-q)^2,$$ したがって$ax+2qy=1$であり、 $$\displaystyle q=\frac{1-ax}{2\sqrt{1-x^2}}.$$ $0<a<1$より$1-ax>0$だから$q>0$である。

(1)について、 $$\displaystyle q^2-\frac{1-a^2}{4}=\frac{(1-ax)^2-(1-a^2)(1-x^2)}{4(1-x^2)}=\frac{(x-a)^2}{4(1-x^2)}\ge0.$$ 等号は$x=a$のときに成立する。また$x\to1-0$のとき$q\to\infty$であり、$a\le x<1$で$q$は連続だから、$q$は$\sqrt{1-a^2}/2$以上のすべての値をとる。一方、$Q$が単位円内にある条件は $$\displaystyle \frac{a^2}{4}+q^2\le1\quad\text{すなわち}\quad q\le c,\qquad c=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}.$$ ここで$c^2-(1-a^2)/4=3/4>0$であるから、求める範囲は$\sqrt{1-a^2}/2\le q\le c$である。

(2)では最大値$q=c$となる。このとき$Q=(a/2,c)$であり、$ax+2cy=1$と$x^2+y^2=1$を連立すると $$\displaystyle 4x^2-2ax+a^2-3=0,\qquad x=\frac a4\pm\frac{\sqrt3c}{2}.$$ それぞれに対応する$y$は、$x=a/4+\sqrt3c/2$のとき$y=c/2-\sqrt3a/4$、$x=a/4-\sqrt3c/2$のとき$y=c/2+\sqrt3a/4$である。$2c>\sqrt3a$は$4c^2=4-a^2>3a^2$（$a<1$）から従うので、どちらも$y>0$を満たす。したがって最大時の$P$はこの二点である。

(3)のため、 $$\displaystyle u=\frac c2-\frac{\sqrt3a}{4},\quad v=\frac c2+\frac{\sqrt3a}{4},\quad p=\frac a4+\frac{\sqrt3c}{2},\quad r=\frac a4-\frac{\sqrt3c}{2}$$ とおく。$p>0>r$、$u,v>0$であり、$p^2+u^2=r^2+v^2=1$。許される$x$の範囲は $$4x^2-2ax+a^2-3\le0\quad\text{すなわち}\quad r\le x\le p.$$ よって$P=(\cos\theta,\sin\theta)$とおけば、$\theta$は$\theta_1=\arcsin u$から$\theta_2=\pi-\arcsin v$まで動く。

高さ$t$（$0\le t\le1$）で各三角形を切ると、その切り口は $$\displaystyle t\cot\theta\le X\le a+t\frac{\cos\theta-a}{\sin\theta}$$ である。左端は$\theta$とともに減少する。また右端に含まれる$(\cos\theta-a)/\sin\theta$の導関数は$(a\cos\theta-1)/\sin^2\theta<0$なので、右端も減少する。したがって、切り口全体の左端$L(t)$と右端$R(t)$は $$\displaystyle L(t)=\begin{cases}\dfrac{r}{v}t &(0\le t\le v),\\-\sqrt{1-t^2}&(v\le t\le1),\end{cases}\qquad R(t)=\begin{cases}a+\dfrac{p-a}{u}t &(0\le t\le u),\\\sqrt{1-t^2}&(u\le t\le1).\end{cases}$$ となる。よって面積$S$は $$\displaystyle S=\int_0^u\left(a+t\frac{p-a}{u}-t\frac rv\right)dt+\int_u^v\left(\sqrt{1-t^2}-t\frac rv\right)dt+\int_v^1 2\sqrt{1-t^2}\,dt.$$ $0\le t\le1$ で $t=\sin\psi$（$0\le\psi\le\pi/2$）と置くと，$dt=\cos\psi\,d\psi$，$\sqrt{1-t^2}=\cos\psi$ である。したがって $$\displaystyle \int\sqrt{1-t^2}\,dt =\int\cos^2\psi\,d\psi =\frac{\psi}{2}+\frac{\sin 2\psi}{4} =\frac{t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t}{2}.$$ さらに $p=\sqrt{1-u^2}$，$r=-\sqrt{1-v^2}$ を用いて整理すると $$\displaystyle S=\frac\pi2-\frac{\arcsin u+\arcsin v}{2}+\frac{au}{2}.$$ $\phi=\arcsin(a/2)$ とおくと $0<\phi<\pi/6$，$c=\cos\phi$ であり，$u=\sin(\pi/6-\phi)$，$v=\sin(\pi/6+\phi)$ となる。$0\le\pi/6-\phi\le\pi/2$、$0\le\pi/6+\phi\le\pi/2$ がともに成り立つので，主値の範囲から $$\arcsin u=\pi/6-\phi,\qquad \arcsin v=\pi/6+\phi,$$ 従って $\arcsin u+\arcsin v=\pi/3$ であり， $$\displaystyle S=\frac\pi3+\frac a2\left(\frac c2-\frac{\sqrt3a}{4}\right)=\frac\pi3+\frac{ac}{4}-\frac{\sqrt3a^2}{8}.$$