4岡山大学 2016年 数学 第4問解答・解説

解答 $r^2=s^2+t^2$ とおく。直線 $AP$ 上の点は $(\lambda s,\lambda t,1-\lambda)$ と表せる。球面上にある条件から $\lambda^2(r^2+1)-2\lambda=0$。$A$ 以外の交点では $\lambda=2/(1+r^2)$ だから $$\displaystyle Q=\left(\frac{2s}{1+r^2},\frac{2t}{1+r^2},\frac{r^2-1}{1+r^2}\right).$$ 直線 $BQ$ と $z=0$ の交点を計算すると $$\displaystyle R=\left(\frac{s}{r^2},\frac{t}{r^2},0\right),\quad u=\frac{s}{r^2},\quad v=\frac{t}{r^2}.$$ 従って $|OR|=1/r$ で，(1) は $r\cdot1/r=1$。また $u^2+v^2=1/r^2$ より $s=u/(u^2+v^2)$。

(3) 原点を通らない直線は $as+bt=c$（$c\ne0$）と書ける。反転の式を代入すると $au+bv=c(u^2+v^2)$。平方完成すれば $$\displaystyle \left(u-\frac{a}{2c}\right)^2+\left(v-\frac{b}{2c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{4c^2},$$ 円周の方程式となる。従って対応する点Rは同一円周上にある。