1岡山大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=(3^2)!=9!$ である。 9! に含まれる 3 の個数は、3 の倍数 3,6,9 から 3 個、さらに 9 が 3^2 の倍数であることから 1 個加わる。したがって f(n)=3+1=4.

(2) $n=(5^2)!=25!$ である。 25! に含まれる 5 の個数は、5 の倍数 5,10,15,20,25 から 5 個、さらに 25 が 5^2 の倍数であることから 1 個加わる。したがって f(n)=5+1=6.

(3) N=p^m とおくと n=N! である。 N! の各因数のうち、p^k の倍数はそれぞれ p を少なくとも k 個含むので、p^k の倍数を数えるごとに、その中の p の個数を1個ずつ数える。k ごとの個数は $\displaystyle \left\lfloor\frac{N}{p^k}\right\rfloor$ であり、k>m では 0 だから、\$$\displaystyle f(n)=\sum\limits _{k=1}^{m}\left\lfloor\frac{p^m}{p^k}\right\rfloor=p^{m-1}+p^{m-2}+\cdots+p+1.$$ ここで $(p-1)(p^{m-1}+p^{m-2}+\cdots+p+1)=p^m-1$ より、\$$\displaystyle f(n)=\frac{p^m-1}{p-1}.$$