5東北大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 各頂点で鋭角となる条件を内積で調べる。 $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}&=(4,0)\cdot(t+2,\sqrt3t)=4(t+2)>0,\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BP}&=(-4,0)\cdot(t-2,\sqrt3t)=4(2-t)>0,\\ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}&=(-t-2,-\sqrt3t)\cdot(2-t,-\sqrt3t)=4(t^2-1)>0. \end{aligned}$$ $t>0$なので、3条件を合わせて $1<t<2$ を得る。

(2) $AB$ は $x$ 軸上にあるから、$P$ からの高度は直線 $x=t$ である。垂心を $H=(t,h)$ とすると、$AH\perp BP$ より $$(t+2,h)\cdot(t-2,\sqrt3t)=0,$$ したがって $t^2-4+\sqrt3t\,h=0$ であり、 $$\displaystyle H=\left(t,\frac{4-t^2}{\sqrt3t}\right).$$

(3) $M,Q,R$ はそれぞれ $AB,BP,PA$ の中点である。折り上げ後、3つの元の頂点 $A,B,P$ は1点 $S$ に重なる。中点連結定理から、四面体 $SMQR$ の向かい合う辺の長さは $$\displaystyle \begin{array}{lll} u=MQ=SR=\dfrac{AP}{2}=\sqrt{t^2+t+1},& v=MR=SQ=\dfrac{BP}{2}=\sqrt{t^2-t+1},& w=QR=SM=\dfrac{AB}{2}=2. \end{array}$$ この等向かい辺の四面体の頂点位置ベクトルを重心を原点として $r_M,r_Q,r_R,r_S$ とし、 $$\displaystyle X=\frac{r_M+r_Q}{2},\qquad Y=\frac{r_M+r_R}{2},\qquad Z=\frac{r_M+r_S}{2}$$ とおく。向かい合う辺がそれぞれ等しいことから $X,Y,Z$ は互いに直交する。座標軸をこれらの方向に取れば、4頂点は $(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z)$ と表せる。したがって $$\displaystyle u^2=4(y^2+z^2),\quad v^2=4(x^2+z^2),\quad w^2=4(x^2+y^2),\quad V=\frac83|xyz|,$$ ゆえに $$\displaystyle V=\frac{1}{6\sqrt2}\sqrt{(u^2+v^2-w^2)(v^2+w^2-u^2)(w^2+u^2-v^2)}.$$ ここで $$u^2+v^2-w^2=2(t^2-1),\quad v^2+w^2-u^2=2(2-t),\quad w^2+u^2-v^2=2(t+2),$$ だから $$\displaystyle V=\frac13\sqrt{(t^2-1)(4-t^2)}.$$ $s=t^2$ とおくと $1<s<4$ であり、 $$\displaystyle (t^2-1)(4-t^2)=(s-1)(4-s)=\frac94-\left(s-\frac52\right)^2\le\frac94.$$ 等号は $s=5/2$、すなわち $t=\sqrt{5/2}=\sqrt{10}/2$ のときに成立する。この値は $1<t<2$ を満たすので、最大体積は $1/2$ である。