2東北大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad &P=(u,v),\quad F(t)=2t^3-3ut^2+u+v,\\&F'(t)=6t(t-u),\quad F(0)>0,\quad F(u)<0,\\&\lim\limits _{t\to-\infty}F(t)=-\infty,\quad\lim\limits _{t\to+\infty}F(t)=+\infty\\&\quad\text{より}\quad F(t)=0\text{ は }t<0,\ 0<t<u,\ t>u\text{ の各範囲に1個ずつ解をもつ。}\\[2pt]\text{(2)}\quad &e_1=\frac{3u}{2},\quad e_2=0,\quad e_3=-\frac{u+v}{2},\\&\sum m_i=3(e_1^2-2e_2)-3=\frac{27u^2}{4}-3=0\quad\text{より}\quad u=\frac23,\\&\prod m_i=27e_3^2+18e_1e_3+3e_1^2-1=\frac{27v^2}{4}-1=0,\\&v=\pm\frac{2}{3\sqrt3},\quad -\frac23<v<-\frac{10}{27},\\&P=\left(\frac23,-\frac{2}{3\sqrt3}\right).\end{aligned}$$

接点の横座標を$t$とすると、点$P=(u,v)$を通る接線の条件は三次方程式$F(t)=0$になる。領域条件により$u>0$、$F(0)>0>F(u)$で、$F$の増減と両端の極限から3区間に1根ずつある。傾きと切片で接線が区別できるため異なる3本となる。3根の解と係数の関係から傾きの和を0とする$u$、積を0とする$v$を順に決め、領域条件で候補を選ぶ。