1鹿児島大学 2007年 数学 第1問解答・解説

$t=2^x$ とおくと $t>0$ であり、関数は次の三次式となる。 $$g(t)=t^3-at^2+2at-b.$$ (2) $r=2^\alpha$、$s=2^\beta$ とおく。3つの根は $1,r,s$ で、$0<r<s$。根と係数の関係から $$1+r+s=a,\qquad r+s+rs=2a,\qquad rs=b.$$ よって $$r+s=a-1,\qquad b=rs=a+1,\qquad \alpha+\beta=\log_2(a+1).$$

(3) 積分を計算して $\beta-\alpha>0$ で割る。 $$\displaystyle \int_\alpha^\beta\left(\frac23t+1\right)dt =(\beta-\alpha)\left(\frac{\alpha+\beta}{3}+1\right) =2(\beta-\alpha),$$ $$\alpha+\beta=3,\qquad rs=2^{\alpha+\beta}=8.$$ したがって $a+1=8$ より $a=7$。さらに $r+s=6$、$rs=8$ なので $r,s$ は 2,4 であり、順序 $r<s$ より $$(\alpha,\beta)=(1,2).$$

2^x=tは正の値をとるので、x軸との交点は三次式g(t)の正の根に対応する。x=0に対応する根はt=1、残る根をr=2^α,s=2^βと置き、r<sを保つ。Vietaの公式で根の和・二次の対称和・積を係数と比較するとb=a+1とα+β=log₂(a+1)が得られる。積分は平方差に因数分解し、β>αを使って約する。最後にr,sは和6、積8を満たすので2と4であり、底2の対数からα,βを決める。