2鹿児島大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $h$ を $0$ でない実数とする。差商を積の差に分けると $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}h &=g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}h\\ &\quad+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h\\ &\quad+\frac{f(x+h)-f(x)}h\bigl(g(x+h)-g(x)\bigr). \end{aligned}$$ $h\to0$ とすると第1、第2項はそれぞれ $g(x)f'(x)$、$f(x)g'(x)$ に収束し、第3項は $f'(x)\cdot0=0$ に収束する。従って $(fg)'=f'g+fg'$。

(2) $y=(1+x^2)^a=\exp\bigl(a\log(1+x^2)\bigr)$ と表すと、連鎖律より $$y'=a(1+x^2)^{a-1}\,2x=2ax(1+x^2)^{a-1}.$$

(3) $y=x(1+x^2)^{-1/2}$ として微分すると $$\displaystyle y'=(1+x^2)^{-1/2}-x^2(1+x^2)^{-3/2}=\frac1{(1+x^2)^{3/2}}>0, \qquad y''=-\frac{3x}{(1+x^2)^{5/2}}.$$ よって全実数で単調増加し、$x<0$ では下に凸（$y''>0$）、$x>0$ では上に凸（$y''<0$）、原点が変曲点である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}y=1,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}y=-1.$$ 従って水平漸近線は $y=1$ と $y=-1$。関数は奇関数で原点を通り、単調に増加しながら両漸近線に近づく形である。

(4) $k=1,2,\ldots,n$ に対し $$\displaystyle \Delta_k=\sqrt{1+k^2}-\sqrt{1+(k-1)^2} =\frac{2k-1}{\sqrt{1+k^2}+\sqrt{1+(k-1)^2}}.$$

$$\displaystyle \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}-\Delta_k =\frac{k}{A}-\frac{2k-1}{A+B},\quad A=\sqrt{1+k^2},\ B=\sqrt{1+(k-1)^2}.$$ 右辺が正であることは $kB>(k-1)A$ と同値であり、両辺は非負で $$k^2B^2-(k-1)^2A^2=2k-1>0$$ だから確かに成り立つ。従って $\displaystyle \Delta_k<\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}$。これを $k=1$ から $n$ まで加えると左辺は望遠和となり、 $$\displaystyle \sqrt{1+n^2}-1=\sum\limits _{k=1}^n\Delta_k<\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{\sqrt{1+k^2}},$$ 与えられた不等式を得る。

(1) $h$ を $0$ でない実数とする。差商を積の差に分けると $$\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}h=g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}h+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h+\frac{f(x+h)-f(x)}h\bigl(g(x+h)-g(x)\bigr).$$ $h\to0$ とすると第1、第2項はそれぞれ $g(x)f'(x)$、$f(x)g'(x)$ に収束し、第3項は $f'(x)\cdot0=0$ に収束する。従って $(fg)'=f'g+fg'$。

(2) $y=(1+x^2)^a=\exp\bigl(a\log(1+x^2)\bigr)$ と表すと、連鎖律より $$y'=a(1+x^2)^{a-1}\,2x=2ax(1+x^2)^{a-1}.$$

(3) $y=x(1+x^2)^{-1/2}$ として微分すると $$\displaystyle y'=(1+x^2)^{-1/2}-x^2(1+x^2)^{-3/2}=\frac1{(1+x^2)^{3/2}}>0, \qquad y''=-\frac{3x}{(1+x^2)^{5/2}}.$$ よって全実数で単調増加し、$x<0$ では下に凸（$y''>0$）、$x>0$ では上に凸（$y''<0$）、原点が変曲点である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}y=1,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}y=-1.$$ 従って水平漸近線は $y=1$ と $y=-1$。関数は奇関数で原点を通り、単調に増加しながら両漸近線に近づく形である。

(4) $k=1,2,\ldots,n$ に対し $$\displaystyle \Delta_k=\sqrt{1+k^2}-\sqrt{1+(k-1)^2} =\frac{2k-1}{\sqrt{1+k^2}+\sqrt{1+(k-1)^2}}.$$

$$\displaystyle \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}-\Delta_k =\frac{k}{A}-\frac{2k-1}{A+B},\quad A=\sqrt{1+k^2},\ B=\sqrt{1+(k-1)^2}.$$ 右辺が正であることは $kB>(k-1)A$ と同値であり、両辺は非負で $$k^2B^2-(k-1)^2A^2=2k-1>0$$ だから確かに成り立つ。従って $\displaystyle \Delta_k<\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}$。これを $k=1$ から $n$ まで加えると左辺は望遠和となり、 $$\displaystyle \sqrt{1+n^2}-1=\sum\limits _{k=1}^n\Delta_k<\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{\sqrt{1+k^2}},$$ 与えられた不等式を得る。