3富山大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $0<\theta<\pi/2$より正弦・余弦は正である。$\sin\theta=x\cos\theta$と$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から $$\displaystyle \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$ (2) $\tan\alpha=x$となる角$0<\alpha<\pi/2$をとる。$x\cos t-\sin t$は$t<\alpha$で正、$t>\alpha$で負だから $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^\alpha(x\cos t-\sin t)dt+\int_\alpha^{\pi/2}(\sin t-x\cos t)dt\\ &=2(x\sin\alpha+\cos\alpha)-1-x=2\sqrt{1+x^2}-1-x. \end{aligned}$$ $x>0$で両辺が正であることに注意すると、$2\sqrt{1+x^2}\ge x+\sqrt3$は平方して$(\sqrt3x-1)^2\ge0$と同値。従って$f(x)\ge\sqrt3-1$であり、$x=1/\sqrt3$で等号。最小値は$\sqrt3-1$。