3鹿児島大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 10桁の数の先頭の桁から1を引くと、10個の非負整数の和が2になる。よって個数は }\binom{2+10-1}{10-1}=\binom{11}{9}=55.$$ $$\displaystyle \text{(2) 桁数を }k\ (1\le k\le10)\text{ とする。先頭桁から1を引くと、}k\text{ 個の非負整数の和が3になるので、個数は }\binom{k+2}{3}.\text{ 合計は }\sum\limits _{k=1}^{10}\binom{k+2}{3}=\binom{13}{4}=715.$$ $$\text{(3) }k\text{ 桁の回文数では先頭から }\lceil k/2\rceil\text{ 桁を選べば残りが定まり、先頭は1〜9。個数は }9\cdot10^{\lceil k/2\rceil-1}.\text{ 長さ1〜10について合計は }2(9+90+900+9000+90000)=199998.$$

(1) 10桁の数の先頭桁から1を引き、先頭を含む10桁の非負整数の和を2にする。よって重複組合せの数は $\displaystyle \binom{11}{9}=55$。(2) k桁（$1\leq k\leq10$）について先頭から1を引くと、k桁の和は3。個数は $\displaystyle \binom{k+2}{3}$であり、総和は $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{10}\binom{k+2}{3}=\binom{13}{4}=715$。(3) k桁の回文数は先頭から $\displaystyle \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$ 桁を選べば残りが一意に決まる。最初の桁は9通り、続く独立桁は各10通りなので個数は $9\cdot10^{\left\lceil k/2\right\rceil-1}$。奇数桁長と偶数桁長が各々$9+90+900+9000+90000=99{,}999$個あり、合計$199{,}998$個。