2琉球大学 2011年 数学 第2問解答・解説

問1

球の方程式は $$(x-2)^2+y^2+(z-1)^2=20$$ である。$yz$平面では$x=0$だから、 $$y^2+(z-1)^2=16$$ となる。したがって、$C$の中心は$(0,0,1)$、半径は$4$である。

問2

$P=(0,u,v)$とおくと、$P$が$C$上にある条件は $$u^2+(v-1)^2=16$$ である。また、$Q$は直線$x=y$上にあるから、$Q=(t,t,0)$とおける。このとき $$\displaystyle PQ^2=t^2+(t-u)^2+v^2 =2\left(t-\frac{u}{2}\right)^2+\frac{u^2}{2}+v^2$$ となる。よって、$P$を固定したとき、$t=u/2$で$PQ$は最小となる。そのときの距離の二乗は$u^2/2+v^2$である。円上の条件から$u^2=16-(v-1)^2$なので、 $$\displaystyle \frac{u^2}{2}+v^2 =\frac{16-(v-1)^2}{2}+v^2 =\frac{(v+1)^2}{2}+7 \ge 7.$$ 等号は$v=-1$のときに成り立つ。このとき $$u^2=16-(-1-1)^2=12$$ より、$u=2\sqrt{3}$または$u=-2\sqrt{3}$である。対応する$t=u/2$を用いると、$(P,Q)$は $$\bigl((0,2\sqrt{3},-1),(\sqrt{3},\sqrt{3},0)\bigr) \quad\text{または}\quad \bigl((0,-2\sqrt{3},-1),(-\sqrt{3},-\sqrt{3},0)\bigr)$$ となる。いずれの場合も$PQ^2=7$であるから、求める最小値は$\sqrt{7}$である。