横浜市立大学 2003年数学第4問解答・解説

1問題

横浜市立大学2003年度第4問

実数 $\displaystyle \lambda=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \mu=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ と行列 $A=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$ に対して $\displaystyle f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\lambda^{n}-\mu^{n}),\qquad A^{n}=\begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ とおく。このとき，次の問いに答えよ。

(1) すべての $n=1,2,3,\ldots$ に対して $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ が成り立つことを証明せよ。

(2) すべての $n=1,2,3,\ldots$ に対して $2f_{n+1}+f_{n}=f_{n+3},\qquad 3f_{n+1}+2f_{n}=f_{n+4}$ が成り立つことを証明せよ。

(3) すべての $n=1,2,3,\ldots$ に対して $\begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{3n+1}&f_{3n}\\f_{3n}&f_{3n-1}\end{pmatrix}$ が成り立つことを証明せよ。

(4) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n})$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ 。 / (2) $f_{n+3}=2f_{n+1}+f_n,\quad f_{n+4}=3f_{n+1}+2f_n$ 。 / (3) $A^n=\begin{pmatrix}f_{3n+1}&f_{3n}\\f_{3n}&f_{3n-1}\end{pmatrix}$ 。 / (4) $\displaystyle 3\log\lambda=3\log\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\lambda^2=\lambda+1,\mu^2=\mu+1$ なので、それぞれに $\lambda^n,\mu^n$ を掛けて差をとり、 $\sqrt5$ で割ると $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ 。 (2) この式を続けて用いれば $f_{n+3}=2f_{n+1}+f_n,\qquad f_{n+4}=3f_{n+1}+2f_n.$ (3) $f_1=f_2=1,f_3=2,f_4=3$ より $n=1$ は成立。 $n$ で成立すると仮定して右から $A$ を掛けると $A^{n+1}=\begin{pmatrix}3f_{3n+1}+2f_{3n}&2f_{3n+1}+f_{3n}\\3f_{3n}+2f_{3n-1}&2f_{3n}+f_{3n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{3n+4}&f_{3n+3}\\f_{3n+3}&f_{3n+2}\end{pmatrix}.$ よって数学的帰納法により成立する。 (4) 成分の和を $S_n$ とおくと $\displaystyle S_n=f_{3n+1}+2f_{3n}+f_{3n-1}=\lambda^{3n}\frac{(2+\sqrt5)-(2-\sqrt5)(\mu/\lambda)^{3n}}{\sqrt5}.$ ここでは $\lambda+\lambda^{-1}=\sqrt5,\mu+\mu^{-1}=-\sqrt5$ を用いた。 $|\mu/\lambda|<1$ なので右の分数は正の定数 $(2+\sqrt5)/\sqrt5$ に収束する。したがって $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\log S_n}{n}=3\log\lambda=3\log\frac{1+\sqrt5}{2}.$

この問題で使う考え方

数学的帰納法
成分計算

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