3横浜市立大学 2003年 数学 第3問解答・解説

面積条件から、$P=(t,s)$ とおくと $\displaystyle \frac12\cdot1\cdot s=1$。$s>0$ だから $P=(t,2),\ t>0$ である。正方形の内部を高さ $y$（$0\le y\le1$）で水平に切る。直線 $AP, BP$ 上の点の $x$ 座標は、線分上で高さが 0 から 2 へ進む割合が $y/2$ なので $$\displaystyle x_{AP}=\frac{ty}{2},\qquad x_{BP}=1+\frac{(t-1)y}{2}.$$ 差は $x_{BP}-x_{AP}=1-y/2>0$ である。

(1) $0<t\le1$ では両端が正方形の範囲にあるため、水平断面の幅は $1-y/2$。積分すると $\displaystyle S(t)=\int_0^1(1-y/2)dy=3/4$。$1\le t\le2$ では右端が正方形の辺 $x=1$ となり、幅は $1-ty/2$。よって $\displaystyle S(t)=\int_0^1(1-ty/2)dy=1-t/4$。$t\ge2$ では左端が $x=1$ 以下にあるのは $y\le2/t$ の間だけで、その間の幅は同じく $1-ty/2$。したがって $\displaystyle S(t)=\int_0^{2/t}(1-ty/2)dy=1/t$。境界 $t=1,2$ で隣の式は一致する。

(2) $x\ge2$ のとき、積分を $t=2$ で分けると $$\displaystyle \int_1^x\frac{S(t)}t dt=\int_1^2\left(\frac1t-\frac14\right)dt+\int_2^x\frac1{t^2}dt=\log2+\frac14-\frac1x.$$ したがって $x\to\infty$ の極限は $\displaystyle \log2+\frac14$。