2琉球大学 2014年 数学 第2問解答・解説

問1では$d=-a$と$ad-bc=1$から$a^2+bc=-1$を得る。したがって $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix}=-E.$$ 問2で$A=tE$と仮定すると$a=d=t$であり、$a+d=0$から$t=0$、これは$ad-bc=1$に反する。よって$E,A$は一次独立である。また $$(pA+qE)(xA+yE)=(qy-px)E+(py+qx)A.$$ 係数を比較すると$qy-px=1$、$py+qx=0$。$p^2+q^2\ne0$より $$\displaystyle x=-\frac{p}{p^2+q^2},\qquad y=\frac{q}{p^2+q^2}.$$ 問3は$n=1$で成立する。$n=k$で成立すると仮定し、$A^2=-E$を用いると $$\begin{aligned} \{(\cos\theta)E+(\sin\theta)A\}^{k+1} &=\{(\cos k\theta)E+(\sin k\theta)A\} \{(\cos\theta)E+(\sin\theta)A\}\\ &=(\cos((k+1)\theta))E+(\sin((k+1)\theta))A, \end{aligned}$$ ここで最後に三角関数の加法定理を使った。従って数学的帰納法で全ての正整数$n$に対して成立する。

行列条件を成分へ直して二乗を計算する。単位行列と$A$の一次独立を確かめて係数を比較し、$A^2=-E$を用いた帰納法でべきの公式を示す。