5大阪大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) 行列の型を「行数 $\times$ 列数」で表すと、$A,B,C,D$ はそれぞれ $2\times2,2\times3,3\times2,3\times3$ 型である。 積が定義できる並べ方は、各 $d_j$ が2または3である数列 $$(d_0,d_1,\ldots,d_n)$$ と一対一に対応する。実際、$M_j$ を $d_{j-1}\times d_j$ 型の行列とすれば、該当する行列は4個のうちただ一つで、隣り合う行列の内側の数は一致する。逆に定義できる積からこの数列がただ一つ決まる。よって答えは $$\boxed{2^{n+1}\text{ 通り}}.$$

零行列になる条件を調べる。 $A,D$ はそれぞれ2次、3次の単位行列なので、定義できる積からこれらを取り除いても積の値は変わらない。残る $B,C$ は型の制約から交互に並ぶ。また成分を直接掛けると $$BC=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad CB=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\ne O.$$ 残る文字が3個以上なら、交互の並びのどこかに $BC$ が現れるので積は零行列となる。2個の場合は $CB$ だけが零行列でない。

(2) $2\times3$ 型で零行列でない積を得るには、単位行列を除いた並びが $B$ 一つだけでなければならない。したがって並びは $$\underbrace{A\cdots A}_{j-1\text{ 個}}\,B\, \underbrace{D\cdots D}_{n-j\text{ 個}}\qquad(1\le j\le n)$$ に限り、いずれの積も $B\ne O$。よって $\boxed{n\text{ 通り}}$。

(3) 単位行列を除いた並びで分類する。

・ 何も残らない場合：すべて $A$、またはすべて $D$ の2通り。

・ $B$ 一つが残る場合：(2)より $n$ 通り。

・ $C$ 一つが残る場合：前がすべて $D$、後がすべて $A$ なので $n$ 通り。

・ $CB$ が残る場合：$C,B$ の位置 $i<j$ を選べば、$C$ より前と $B$ より後は $D$、その間は $A$ と一意に決まる。よって $\displaystyle \binom n2$ 通り。

以上で漏れなく、どの場合も零行列でないので $$\displaystyle \boxed{2+2n+\binom n2=\frac{n^2+3n+4}{2}\text{ 通り}}.$$