1大阪大学 2007年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle \Delta=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ とおく。$x=n+t$（$0\leq t\leq1$）とすると、2点 $(n,\sqrt n),(n+1,\sqrt{n+1})$ を通る直線 $\ell$ 上では $y_\ell=\sqrt n+\Delta t$ である。曲線 $C:y=\sqrt x$ の高さの2乗は $x=n+t$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} x-y_\ell^2&=(1-2\sqrt n\,\Delta)t-\Delta^2t^2,\\ 1-2\sqrt n\,\Delta&=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\Delta^2, \end{aligned}$$ よって $x-y_\ell^2=\Delta^2t(1-t)\geq0$。すなわち区間内で曲線が直線より上にあり、$x$ 軸回転時の外半径は $\sqrt{x}$、内半径は $y_\ell$ である。円環の断面積を積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_n^{n+1}(x-y_\ell^2)\,dx =\pi\Delta^2\int_0^1t(1-t)\,dt\\ &=\frac{\pi\Delta^2}{6} =\frac{\pi}{6(\sqrt{n+1}+\sqrt n)^2}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle n^aV=\frac{\pi}{6}\,\frac{n^{a-1}}{\left(1+\sqrt{1+1/n}\right)^2}.$$ 分母の括弧は $n\to\infty$ で $4$ に近づく。$a<1$ なら極限は $0$、$a>1$ なら $+\infty$ である。正の有限値 $b$ を得るのは $a=1$ のときに限り、その場合 $$\displaystyle b=\lim\limits _{n\to\infty}nV=\frac{\pi}{6\cdot4}=\frac{\pi}{24}.$$