4大阪大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $u=x-t$ とおくと、$x=t+u,\ 2t-x=t-u$ である。交点では $$\begin{aligned} f(t+u)-f(t-u) &=(t+u)^3-(t+u)-\{(t-u)^3-(t-u)\}\\ &=2u(u^2+3t^2-1)=0. \end{aligned}$$ したがって $$u=0\quad\text{または}\quad u^2=1-3t^2.$$ 交点が相異なる3点となるのは、後者が相異なる2つの実数解 $u=\pm\sqrt{1-3t^2}$ をもつとき、すなわち $$\displaystyle 1-3t^2>0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad -\frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

(2) $a=\sqrt{1-3t^2}\ (a>0)$ とおく。2曲線の縦の差は $$f(t+u)-f(t-u)=2u(u^2-a^2).$$ よって $-a<u<0$ では $C_1$ が上、$0<u<a$ では $C_2$ が上である。2つの有界部分の面積はそれぞれ $$\displaystyle \int_{-a}^{0}2u(u^2-a^2)\,du=\frac{a^4}{2},\qquad \int_{0}^{a}-2u(u^2-a^2)\,du=\frac{a^4}{2}.$$ したがって両部分の合計は $$S=a^4=(1-3t^2)^2.$$ (1)の範囲では $0<1-3t^2\leq 1$ だから $S\leq 1$。等号は $t=0$ で成り立つ。ゆえに最大値は $1$ である。