2大阪大学 2007年 数学 第2問解答・解説

・ $t=\sqrt{x}>0$ とおくと，示すべき不等式は $$\displaystyle 2|\log t|\le \left|t-\frac1t\right|$$ である。まず $t\ge1$ とし， $$\displaystyle F(t)=t-\frac1t-2\log t$$ とおくと， $$\displaystyle F(1)=0,\qquad F'(t)=1+\frac1{t^2}-\frac2t=\frac{(t-1)^2}{t^2}\ge0$$ である。したがって $F(t)\ge0$，すなわち $2\log t\le t-1/t$ である。 $0<t<1$ のときは $u=1/t>1$ とおけば， $$\displaystyle 2|\log t|=2\log u,\qquad \left|t-\frac1t\right|=u-\frac1u$$ となるので，すでに示した場合から同じ不等式が従う。最後に $t=\sqrt{x}$ を戻せば， $$\displaystyle 2|\log t|=|\log x|,\qquad \left|t-\frac1t\right|=\frac{|x-1|}{\sqrt{x}}$$ となり，(1)を得る。

・ $p+q+r=1$ より， $$3(p^2+q^2+r^2)-1 =3(p^2+q^2+r^2)-(p+q+r)^2 =(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2\ge0.$$ よって $p^2+q^2+r^2\ge1/3$ である。等号は $p=q=r=1/3$ のときに成立する。

・ 正の相異なる $u,v$ に対し，$\log$ は増加するから $\log(v/u)$ と $v-u$ は同符号である。(1)を $v/u$ に適用すると， $$\displaystyle \left|\log\frac vu\right| \le \frac{|v/u-1|}{\sqrt{v/u}} =\frac{|v-u|}{\sqrt{uv}},$$ したがって $$\displaystyle \frac{uv}{v-u}\log\frac vu =\frac{uv}{|v-u|}\left|\log\frac vu\right| \le\sqrt{uv}.$$ これを $(u,v)=(a,b),(b,c),(c,a)$ に適用すれば，問題の左辺は $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 以下である。ここで $p=\sqrt a,\ q=\sqrt b,\ r=\sqrt c$ とおくと $p,q,r>0$ かつ $p+q+r=1$ であり，(2)より $p^2+q^2+r^2\ge1/3$ である。よって $$\displaystyle \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} =pq+qr+rp =\frac{(p+q+r)^2-(p^2+q^2+r^2)}2 =\frac{1-(p^2+q^2+r^2)}2 \le\frac13.$$ 以上から(3)の不等式が成立する。

(1)は平方根置換後の差を微分して示し、$0<t<1$ は逆数置換で処理する。(2)は平方和の恒等式を用いる。(3)では(1)を三つの比に適用して各項を平方根の積で上から評価し、(2)に帰着する。対数は通常の自然対数の意味で読む。