1京都大学 2001年 数学 第1問解答・解説

曲線上の点を P=(a,a^3) とおく。接線の傾きは微分して 3a^2 だから、その方向ベクトルを (1,3a^2) とできる。これを反時計回りに45°回すと、方向ベクトルは ((1−3a^2)/√2,(1+3a^2)/√2) となる。共通の係数1/√2を省いて A=1−3a^2 とおけば、直線Lを (x,y)=(a+Aλ, a^3+(1+3a^2)λ) と表せる。

Cとの交点は y=x^3 を満たす。代入して整理すると λ{A^3λ^2+3aA^2λ−(1+9a^4)}=0 を得る。λ=0 は点Pであり、ほかの交点は括弧内の二次方程式の実数解に対応する。その判別式は D=(3aA^2)^2+4A^3(1+9a^4)=A^3(4+9a^2+9a^4)。 括弧内の因子は常に正なので、二次方程式が異なる2実根をもつのは A>0 のときに限る。A>0なら定数項は −(1+9a^4)≠0 なので、2根はいずれも0ではなく、Pに加えて異なる2点で交わる。A<0なら判別式は負で追加の実根がなく、A=0なら括弧内は定数 −(1+9a^4) となるためPだけである。よって必要十分条件は 1−3a^2>0、すなわち −1/√3<a<1/√3。求めるPは曲線 y=x^3 のこの開区間に対応する弧である。