III順天堂大学 2015年 数学 第III問解答・解説

原文の条件について：原文の (1)(2) は「直線 $OP$ 上」と指定しており、半直線とは指定していない。また $0<t<1$ の明記は (3) のみにある。 以下の (1)(2) の主解は、長さの正の比として $t>0$、かつ $P\ne O$ の場合に、直線上の両方向を含めて述べる。 (1) で $O$ が $P$ の動く範囲に属すると、$P=O$ では直線 $OP$ も比 $OP:OQ=1:t$ も定まらない。その点を除いた範囲での軌跡を述べるのであって、原文にない定義を補わない。

(1) $\boldsymbol p=\overrightarrow{OP}$、$\boldsymbol q=\overrightarrow{OQ}$ とする。 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので $\boldsymbol q=\lambda\boldsymbol p$ と書ける。 $OP>0$ より $OQ=|\lambda|OP$ だから、長さの比から $|\lambda|=t$ となる。 したがって $$\boldsymbol q=t\boldsymbol p\quad\text{または}\quad\boldsymbol q=-t\boldsymbol p.$$ 各頂点 $X=A,B,C$ に対して $\overrightarrow{OX_+}=t\overrightarrow{OX}$、$\overrightarrow{OX_-}=-t\overrightarrow{OX}$ と定めると、求める軌跡は $$\boxed{\text{三角形 }A_+B_+C_+\text{ と三角形 }A_-B_-C_-\text{ の和集合}}$$ となる。ここで三角形上の点は元の $P$ の動く範囲に対応する点を取り、$P$ が辺上を動くなら像も辺上を動く。 いずれも元の三角形と相似比 $t$ で相似であり、2つの像は $O$ に関して点対称である。 ただし元の範囲に $O$ が属する場合には、上記の軌跡から $O$ を除く。$t>0$ では $P\ne O$ の像が $O$ になることはないからである。

(2) $P=(u,u^2+1)$ とおく。$u^2+1>0$ より、この小問では常に $P\ne O$ である。 直線 $OP$ 上で長さの比を満たす2点は $$Q_+=(tu,t(u^2+1)),\qquad Q_-=(-tu,-t(u^2+1)).$$ $Q=(x,y)$ として $u$ を消去すると、それぞれ $$\displaystyle \boxed{y=\frac{x^2}{t}+t\quad\text{または}\quad y=-\frac{x^2}{t}-t\qquad(x\text{ は実数},\ t>0)}$$ を得る。逆に各式の任意の点に対して、前者では $u=x/t$、後者では $u=-x/t$ とすれば条件を満たす $P$ が得られる。よって軌跡はこの2本の放物線の和集合である。

(1)(2) の条件付き注記：もし「$O$ から $P$ に向かう半直線上」という条件を追加するなら、$\boldsymbol q=t\boldsymbol p$ の側だけとなる。 この追加条件の下では (1) は $A_+B_+C_+$、(2) は $y=x^2/t+t$ のみとなるが、これは原文の主解とは区別する。 $t=0$ を許すかは原文に明記がない。$P\ne O$ の下で条件を $OQ=t\,OP$ として $t=0$ まで拡張する約束を置けば、$Q=O$ の1点に縮む。 一方、$t<0$ は長さの比としては実現しない。これを負の相似比として扱うには有向量への定義変更が必要であり、原文からは採用しない。

(3) $\Delta=s^2+4as-4b$ とおく。第1の放物線と $y=sx$ の交点は $$(x-a)^2+b=sx \quad\text{すなわち}\quad x^2-(2a+s)x+(a^2+b)=0.$$ よって $\Delta>0$ のとき $$\displaystyle x=a+\frac{s}{2}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}2,\qquad y=sx$$ の2点で交わる。$\Delta=0$ なら $x=a+s/2,\ y=sx$ の1点で接し，$\Delta<0$ なら実交点はない。

第2の放物線では $$\displaystyle \frac1t(x-ta)^2+tb=sx \quad\text{すなわち}\quad x^2-t(2a+s)x+t^2(a^2+b)=0.$$ その判別式は $t^2\Delta$ で，$0<t<1$ より符号は $\Delta$ と同じである。従って $\Delta>0$ では $$\displaystyle x=t\left(a+\frac{s}{2}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}2\right),\qquad y=sx$$ の2点，$\Delta=0$ では $x=t(a+s/2),\ y=sx$ の1点，$\Delta<0$ では実交点をもたない。

(4) 第1の放物線で傾き $m$ の接線は，接点の $x$ 座標が $m/2$ なので $$\displaystyle y=mx+1-\frac{m^2}{4}.$$ 第2の放物線で接点を $x=b+v$ とすると傾きは $m=2av$ であり，接線は $$\displaystyle y=mx+c-bm-\frac{m^2}{4a}.$$ 両者が一致する条件は $$(1-a)m^2+4abm+4a(1-c)=0.$$ ここで $a\ne0$ は第2の式が放物線であるための条件である。$a\ne1$ ならこの二次方程式が重解をもつときに限り，異なる接線がちょうど1本となる。判別式を0とすると $$(4ab)^2-16a(1-a)(1-c)=0 \quad\text{すなわち}\quad ab^2=(1-a)(1-c).$$ $a=1$ のときは条件式が $4bm+4(1-c)=0$ となるので，$b\ne0$ なら傾きがただ1つ定まり，$b=0$ では $c\ne1$ なら共通接線はなく，$c=1$ なら二つの放物線は一致して接線が無数にある。以上より条件は $$\boxed{a=1,\ b\ne0\quad\text{または}\quad a\ne0,1,\ ab^2=(1-a)(1-c)}$$ である。