5京都大学 2001年 数学 第5問解答・解説

(1) $1$以外の$p$乗根は$p-1$個ある。$z_1$を選ぶと、$z_1z_2=1$となる$z_2$はただ1個である。$z_3=(z_1z_2)^{-1}$が$1$以外になるには、この1個を除けばよい。したがって $$a_3=(p-1)(p-2).$$ (2) 最初の$n$個の積が$1$なら、最後に$1$以外の根を加えて積を$1$にはできない。それ以外なら逆数を1通り選べる。よって $$a_{n+1}=(p-1)^n-a_n.$$ 同様に$a_{n+2}=(p-1)^{n+1}-a_{n+1}$なので、$(p-1)^n=a_n+a_{n+1}$を代入して $$\boxed{a_{n+2}=(p-2)a_{n+1}+(p-1)a_n}.$$ (3) $a_2=p-1$である。$b_n=a_n-(p-1)^n/p$とおくと上の一階漸化式から$b_{n+1}=-b_n$、$b_2=(p-1)/p$となる。したがって $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{(p-1)^n+(p-1)(-1)^n}{p}}.$$ $p=2$では唯一の根が$-1$なので、偶数$n$で1、奇数$n$で0となり、この式とも一致する。