6東北大学 2008年 数学 第6問解答・解説

以下、角は弧度法とし、$c_\alpha=\cos\alpha$, $s_\alpha=\sin\alpha$, $c_\beta=\cos\beta$, $s_\beta=\sin\beta$ とおく。第1・第3象限にあることから $0<\alpha,\beta<\pi/2$ であり、 $$P=(c_\alpha,s_\alpha),\qquad Q=(-c_\beta,-s_\beta).$$

(1) $P$ が $y=x^2+2kx$ 上にあるので $$s_\alpha=c_\alpha^2+2kc_\alpha.$$ $c_\alpha>0$ より $$\displaystyle k=\frac{s_\alpha-c_\alpha^2}{2c_\alpha} =\frac{\tan\alpha-\cos\alpha}{2}.$$ また、$Q$ を代入すると $$-s_\beta=c_\beta^2-2kc_\beta, \qquad 2kc_\beta=s_\beta+c_\beta^2.$$

(2) $x=-1$ では $f(-1)=1-2k<-1$ なので、最初の交点 $Q$ より左では放物線が円の下にある。また $f(0)=0$ は円の上下の枝 $y=\pm1$ の間にあり、交点は $Q,P$ の2つだけだから、その間では放物線は円内にある。$P$ より右では $f(1)=1+2k>1$ なので放物線は円の上にある。従って、$-1\le x\le x_Q$ では円内の縦の幅全体が曲線より上にあり、$x_Q\le x\le x_P$ では上側の円弧と曲線の間が求める領域である。よって $$\displaystyle S(k)=2\int_{-1}^{-c_\beta}\sqrt{1-x^2}\,dx +\int_{-c_\beta}^{c_\alpha}\left(\sqrt{1-x^2}-(x^2+2kx)\right)dx.$$ 最初の円弓形の面積は $$\displaystyle 2\int_{-1}^{-c_\beta}\sqrt{1-x^2}\,dx =\beta-c_\beta s_\beta.$$ また、上半円の $x_Q$ から $x_P$ までの面積は $$\displaystyle \int_{-c_\beta}^{c_\alpha}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{\pi-\alpha-\beta+c_\alpha s_\alpha+c_\beta s_\beta}{2}.$$ 放物線の符号付き積分を $I$ とおくと $$\displaystyle I=\int_{-c_\beta}^{c_\alpha}(x^2+2kx)\,dx =\frac{c_\alpha^3+c_\beta^3}{3}+k(c_\alpha^2-c_\beta^2).$$ 交点の式から $$\displaystyle k c_\alpha^2=\frac{c_\alpha s_\alpha-c_\alpha^3}{2},\qquad k c_\beta^2=\frac{c_\beta s_\beta+c_\beta^3}{2},$$ ゆえに $$\displaystyle I=\frac{c_\alpha s_\alpha-c_\beta s_\beta}{2} -\frac{c_\alpha^3+c_\beta^3}{6}.$$ 以上を面積式に代入して整理すると $$\displaystyle S(k)=\frac{\pi+\beta-\alpha}{2} +\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{6}.$$

(3) 交点条件と $k>1$ から $$\displaystyle 0<\cos\alpha\le\frac1{2k},\qquad 0<\cos\beta\le\frac1k.$$ 従って $k\to\infty$ で $\alpha,\beta\to\pi/2$。よって (2) の式から $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}S(k)=\frac\pi2.$$

以下、角は弧度法とする。$P=(\cos\alpha,\sin\alpha),\quad Q=(-\cos\beta,-\sin\beta)$で、$\displaystyle 0<\alpha,\beta<\frac{\pi}{2}$。Pが$y=x^2+2kx$上にあるため $\sin\alpha=\cos^2\alpha+2k\cos\alpha$、従って $\displaystyle k=\frac{\sin\alpha-\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha-\cos\alpha}{2}$。Qからも$2k\cos\beta=\sin\beta+\cos^2\beta$を得る。x=−1では $f(-1)=1-2k<-1$なのでQより左で曲線は円の下にある。また $f(0)=0$は円の枝の間にあり、交点はQ,Pの2点だけだからその間では曲線は円内にある。Pより右では $f(1)=1+2k>1$なので円の上にある。従って曲線より上にある囲み図形の面積は、左端の円弓形とQ〜Pの上半円・曲線間の面積の和である。cα=cosα,sα=sinα,cβ=cosβ,sβ=sinβとおくと、$\displaystyle S=2\int_{-1}^{-c_\beta}\sqrt{1-x^2}\,dx+\int_{-c_\beta}^{c_\alpha}(\sqrt{1-x^2}-x^2-2kx)\,dx$。左の円弓形の面積は$\beta-c_\beta s_\beta$、上半円のQ〜P部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi-\alpha-\beta+c_\alpha s_\alpha+c_\beta s_\beta}{2}$。曲線の符号付き積分Iは$\displaystyle \frac{c_\alpha^3+c_\beta^3}{3}+k(c_\alpha^2-c_\beta^2)$であり、交点条件から$\displaystyle kc_\alpha^2=\frac{c_\alpha s_\alpha-c_\alpha^3}{2}$、$\displaystyle kc_\beta^2=\frac{c_\beta s_\beta+c_\beta^3}{2}$。よって $\displaystyle I=\frac{c_\alpha s_\alpha-c_\beta s_\beta}{2}-\frac{c_\alpha^3+c_\beta^3}{6}$。以上から $\displaystyle S(k)=\frac{\pi+\beta-\alpha}{2}+\frac{c_\alpha^3+c_\beta^3}{6}$。最後に$2k\cos\alpha=\sin\alpha-\cos^2\alpha\leq1$、$2k\cos\beta=\sin\beta+\cos^2\beta\leq2$なので$\displaystyle \cos\alpha\leq\frac{1}{2k}$、$\displaystyle \cos\beta\leq\frac1k$。$k\to\infty$で$\displaystyle \alpha,\beta\to\frac{\pi}{2}$となり、面積式から極限はπ/2。