1東北大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) $f\not\equiv0$ とし、$n=\deg f$、$\displaystyle f(x)=\sum\limits _{j=0}^{n}a_jx^j$ とする。もし $n>4$ なら、条件 (i) $x^4f(1/x)=f(x)$ に $x^{n-4}$ を掛けて $$x^n f(1/x)=x^{n-4}f(x)$$ を得る。左辺は $\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n}a_jx^{n-j}$ なので次数は高々 $n$ だが、右辺の最高次項は $a_nx^{2n-4}$ で $2n-4>n$。矛盾するから $n\le4$。零多項式はこの議論の対象外（通常その次数は定義しない）である。

(2) (1) より $$f(x)=a(1+x^4)+b(x+x^3)+cx^2$$ と書ける。条件 (ii) を使うと $$f(1-x)-f(x) =(a+2b+c)+(-4a-5b-2c)x+(6a+3b)x^2+(-4a-2b)x^3=0.$$ 係数を比較して $b=-2a,\ c=3a$ を得る。したがって $$f(x)=a(x^2-x+1)^2.$$ 条件 (iii) $f(1)=1$ より $a=1$。この多項式は $x\mapsto1-x$ で不変であり、$x^4f(1/x)=f(x)$ も満たすので、答えは $$\boxed{f(x)=(x^2-x+1)^2}.$$