2三重大学 2007年 数学 第2問解答・解説

1. $f(x)=a_mx^m+\cdots$ で $a_m\ne0$ とする。各項 $((x+k)/n)^m$ の $x^m$ の係数は $1/n^m$ であり、これを $k=0,\ldots,n-1$ の $n$ 個について足すと左辺の最高次係数は $a_m n^{1-m}$ となる。右辺の最高次係数は $a_m n^{1-d}$。$a_m\ne0$ だから、等式より $n^{1-m}=n^{1-d}$。$n\ge2$ より指数が等しく、$m=d$。

2. 条件右辺は $n^{-1}f(x)=n^{1-2}f(x)$ なので(1)より $f$ は2次式。$f(x)=ax^2+bx+c$、$a\ne0$ とおく。 $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac{x+k}{n}\right)=x+\frac{n-1}{2},\quad \sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac{x+k}{n}\right)^2=\frac{x^2}{n}+\frac{n-1}{n}x+\frac{(n-1)(2n-1)}{6n}.$$ これを左辺に代入して $x$ の係数を比較すると $(n-1)(a+b)=0$ となり、$b=-a$。定数項を比較すると $-(n^2-1)a/(6n)+nc=c/n$、従って $(n^2-1)(c-a/6)=0$ より $c=a/6$。最後に $f(1)=1/6$ を使うと $a/6=1/6$、$a=1$。

従って $\displaystyle \boxed{f(x)=x^2-x+\frac16}$。確認として、和を直接整理すれば $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{x+k}{n}\right)=\frac{x^2-x}{n}+\frac1{6n}=\frac1n f(x),$$ かつ $f(1)=1/6$ であり、条件を満たす。