3三重大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle I_m(x)=\int_1^x t^2(\log t)^m\,dt$ とする。 (1) $m\ge1$ では部分積分により $$\displaystyle I_m(x)=\left[\frac{t^3}{3}(\log t)^m\right]_1^x-\frac m3 I_{m-1}(x)=\frac{x^3(\log x)^m}{3}-\frac m3 I_{m-1}(x).$$ (2) 順に代入して $$\displaystyle I_0=\frac{x^3-1}{3},\quad I_1=\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3-1}{9},\quad I_2=\frac{x^3(\log x)^2}{3}-\frac{2x^3\log x}{9}+\frac{2(x^3-1)}{27}.$$ (3) $f=I_2-I_1$ より $f'=x^2\log x(\log x-1)$。従って $1<x<e$ で減少、$e<x<e^2$ で増加する。 $$\displaystyle f(1)=0,\quad f(e)=-\frac{e^3+5}{27},\quad f(e^2)=\frac{11e^6-5}{27}>0.$$ 最小値は $-(e^3+5)/27$（$x=e$）、最大値は $(11e^6-5)/27$（$x=e^2$）。