徳島大学 2007年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

徳島大学2007年度第1問

曲線 $y=\log x$ $(x>0)$ を $C$ とする。 $n=1,2,3,\ldots$ に対して，点 $(0,n)$ から $C$ に引いた接線を $l_n$ とし， $C$ と $l_n$ の接点を $P_n$ とする。

(1) $l_n$ の方程式を求めよ。

(2) $C$ と線分 $P_nP_{n+2}$ で囲まれた図形の面積 $S_n$ を求めよ。

(3) (2)の $S_n$ に対して，無限級数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{S_n}$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) y=e^{-(n+1)}x+n, P_n=(e^{n+1},n+1). (2) S_n=2e^{n+1}. (3) sum=1/[2e(e−1)].$

解答を見る途中式つきの解答

(1) 接点の $x$ 座標を $a$ とすると接線は $y=\log a+(x-a)/a$ 。点 $(0,n)$ を通るので $n=\log a-1$ 、従って $a=e^{n+1}$ 。よって $\ell_n:y=e^{-(n+1)}x+n$ 、 $P_n=(e^{n+1},n+1)$ 。

(2) $a=e^{n+1}$ 、 $b=e^{n+3}=ae^2$ とする。 $y''<0$ なので曲線は弦より上にある。曲線下の積分から弦下の台形を引くと $\displaystyle S_n=\int_a^b\log x\,dx-(n+2)(b-a)=2e^{n+1}$ 。

(3) $1/S_n=(1/2)e^{-(n+1)}$ は初項 $1/(2e^2)$ 、公比 $1/e$ の等比級数。 $e>1$ より収束し、和は $1/[2e(e-1)]$ 。

この問題で使う考え方

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。