3徳島大学 2007年 数学 第3問解答・解説

（1）漸化式から順に求めると，$a_1=16,\ a_2=3,\ a_3=13,\ a_4=10,\ a_5=3,\ a_6=7,\ a_7=4,\ a_8=3,\ a_9=1$ となる。よって $a_9=1$。

（2）$0\le r<b$ より $b>0$ である。漸化式を3項ずつ見ると，$j=0,1,\ldots,q$ に対して $$\begin{aligned} a_{3j+1}&=(2q-2j+1)b+r,\\ a_{3j+2}&=b,\\ a_{3j+3}&=(2q-2j)b+r \end{aligned}$$ となる。実際，$j=0$ では最初の2項は定義どおりであり，漸化式から第3項もこの形になる。また $j<q$ なら $2q-2j\ge2$ なので， $$a_{3j+4}=|(2q-2j)b+r-b|=(2q-2j-1)b+r,\qquad a_{3j+5}=|((2q-2j-1)b+r)-((2q-2j)b+r)|=b,$$ となり，次の組にも同じ形が続く。最後の3項は $a_{3q+1}=b+r,\ a_{3q+2}=b,\ a_{3q+3}=r$ である。$j<q$ の各組の項はすべて $r$ より大きく，最後の組でも初めの2項は $r$ より大きい。したがって初めて $a_n=r$ となるのは $n=3q+3$ である。

（3）（i）$4905=11\cdot444+21=(2\cdot5+1)\cdot444+21$ であり，$21<444$ だから（2）で $q=5, r=21$ として，初めて $a_n=21$ となるのは $n=3\cdot5+3=18$ である。

（ii）（2）の並びで $q=5, b=444, r=21$ とすると，$a_{16}=465,\ a_{17}=444,\ a_{18}=21$ である。ここからの列を $c_1=a_{17}, c_2=a_{18}$ と置けば，同じ漸化式を満たす。さらに $444=21\cdot21+3=(2\cdot10+1)\cdot21+3$ であるから，（2）より初めて $c_k=3$ となるのは $k=3\cdot10+3=33$ である。$c_k=a_{k+16}$ なので，初めて $a_n=3$ となるのは $n=33+16=49$ である。最初の適用で $a_1,\ldots,a_{16}>21$ だから，これより前に3となる項はない。