4東北大学 2008年 数学 第4問解答・解説

現在の座標を $a$、その絶対値を $d=|a|$ とする。サイコロの目が $k$ のとき、$a>0$ なら移動後の座標は $a-k$、$a<0$ なら $a+k$ である。どちらの場合も移動後の原点からの距離は $|d-k|$ となる。したがって、終了するのは $k=d$ のときである。

(1)(2) 出発時に $d$ が1から6までの整数 なら、各回で終了する目は $1$ 通りなので終了確率は $1/6$。終了しない目は $5$ 通りで、その後の距離は $1$ から $5$ のいずれかとなる。よって、終了しない限り次の回も終了確率は $1/6$、継続確率は $5/6$ である。このことは出発距離がどれであっても変わらないから、ちょうど $m$ 回で終了する確率は $$\displaystyle P(T=m)=\left(\frac56\right)^{m-1}\frac16\qquad(m=1,2,\ldots).$$ したがって、ちょうど3回で終了する確率は $$\displaystyle P(T=3)=\left(\frac56\right)^2\frac16=\frac{25}{216}.$$

(3) 出発距離が $8$ のとき、1回目の後の距離は $8-k$ なので、$2,3,4,5,6,7$ のいずれかである。

1回目の後の距離が $2$ から $6$ の場合（確率 $5/6$）、そこから終了までの回数は上と同じ分布に従う。したがって、$n\ge2$ に対するこの場合の寄与は $$\displaystyle \frac56\left(\frac56\right)^{n-2}\frac16.$$ 1回目の後の距離が $7$ の場合（確率 $1/6$）、次の1回では終了できず、距離は $1$ から $6$ のいずれかになる。その後の回数は同じ分布に従うため、$n\ge3$ に対する寄与は $$\displaystyle \frac16\left(\frac56\right)^{n-3}\frac16.$$ よって $n=1$ では終了できず確率は $0$、$n=2$ では前者だけが寄与し $5/36$。$n\ge3$ では $$\displaystyle P(T=n)=\frac56\left(\frac56\right)^{n-2}\frac16+\frac16\left(\frac56\right)^{n-3}\frac16 =\left(\frac56\right)^{n-3}\left(\frac{25}{216}+\frac{1}{36}\right) =\frac{31}{216}\left(\frac56\right)^{n-3}.$$

座標の符号ではなく原点からの距離を追う。距離1から6の状態では各回の終了確率が一定であることを使い、出発距離8では最初の一歩を距離2から6と距離7に分ける。