I鳥取大学 2012年 数学 第I問解答・解説

(1) 3個を同時に取り出す組は $\displaystyle \binom n3$ 通り。和が8となる異なる3数の組は $\{1,2,5\}$ と $\{1,3,4\}$ の2組だけである。ただし $n=3$ では該当なし、$n=4$ では後者だけが可能。従って $$\displaystyle P=\begin{cases}0 &(n=3),\\[2pt]\frac14 &(n=4),\\[2pt]\frac{2}{\binom n3}=\frac{12}{n(n-1)(n-2)} &(n\ge5).\end{cases}$$

(2) 3回の記録は全部で $n^3$ 通り。ちょうど2回出る数を選ぶ方法は $n$ 通り、残り1回の別の数は $n-1$ 通り、同じ数になる2つの位置は $\displaystyle \binom32=3$ 通りなので、有利な記録は $3n(n-1)$ 通り。確率は $$\displaystyle \frac{3n(n-1)}{n^3}=\frac{3(n-1)}{n^2}.$$

(3) $n\ge3$ なので分母は正。求める条件は $$\displaystyle \frac{3(n-1)}{n^2}\ge\frac12\text{であるための必要十分条件は} n^2-6n+6\le0.$$ 方程式の根は $3\pm\sqrt3$。従って $3-\sqrt3\le n\le3+\sqrt3$ の整数で、さらに $n\ge3$ より $\boxed{n=3,4}$。

(1) 和8の組は$\{1,2,5\},\{1,3,4\}$。よって $n=3$は0、$n=4$は$1/4$、$n\ge5$は$2/C(n,3)=12/[n(n-1)(n-2)]$。 (2) 全 $n^3$ 通り中、重複数 $n$ 通り・異なる数 $n-1$ 通り・同じ位置の選び方3通りなので確率 $3(n-1)/n^2$。 (3) $3(n-1)/n^2\ge1/2$であるための必要十分条件は$n^2-6n+6\le0$である。$n\ge3$の整数解は3,4。