IV鳥取大学 2012年 数学 第IV問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とおくと $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}.$$ $x>0$ では分母は正であり、$f'(x)>0$ は $0<x<e$、$f'(e)=0$、$f'(x)<0$ は $x>e$ である。したがって $f$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。極大値（最大値）は $f(e)=1/e$ であり、極小値はない。実際、$x\to0+$ とすると $t=1/x\to\infty$ なので $f(x)=-t\log t\to-\infty$ である。

(2) (1)より $f$ は $x>e$ で減少し、$3>e$ だから $x\ge3$ で減少する。各 $k=3,4,\ldots,n-1$ について、$k\le x\le k+1$ なら $$f(k+1)\le f(x)\le f(k).$$ これを $k\le x\le k+1$ の範囲で積分し、$k=3$ から $n-1$ まで加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=3}^{n-1}f(k+1) \le\int_3^n f(x)\,dx \le\sum\limits _{k=3}^{n-1}f(k).$$ 左端は $\displaystyle S_n-f(3)=S_n-\dfrac{\log3}{3}$、右端は $S_{n-1}$ である。よって $$\displaystyle S_n-\frac{\log3}{3}\le\int_3^n\frac{\log x}{x}\,dx\le S_{n-1}.$$

(3) (2)で $S_{n-1}=S_n-f(n)$ と書けば $$\displaystyle \int_3^n\frac{\log x}{x}\,dx+f(n)\le S_n \le\int_3^n\frac{\log x}{x}\,dx+f(3).$$ また $$\displaystyle \int_3^n\frac{\log x}{x}\,dx =\frac{(\log n)^2-(\log3)^2}{2}.$$ これを $(\log n)^2$ で割ると、積分項の比は $1/2$ に収束する。一方、$f(3)/(\log n)^2\to0$ であり、$f(n)/(\log n)^2=1/(n\log n)\to0$ である。はさみうちの原理により $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}=\frac12}.$$