4島根大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=1/\sqrt{x^2+1}$ とおくと $$\displaystyle f'(x)=-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}},\qquad f''(x)=\frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}.$$ したがって $f$ は $x<0$ の範囲で増加し、$x>0$ の範囲で減少する。$x=0$ で極大かつ最大値 $1$ をとり、最小値はない（$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$）。また $f''(x)<0$ は $|x|<1/\sqrt2$、$f''(x)>0$ は $|x|>1/\sqrt2$ である。変曲点は $(\pm1/\sqrt2,\sqrt{2/3})$。グラフは偶関数なので $y$ 軸対称で、常に正、両端で漸近線 $y=0$ に近づく。よって原点で高さ $1$ の山をもち、上記の2点で凹凸が変わる概形となる。

(2) $x+\sqrt{x^2+1}>0$ は全実数 $x$ で成り立ち、対数は常に定義される。微分すると $$\displaystyle g'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}-a.$$ 第一項は $x=0$ で最大値 $1$ をとり、常に正で、$|x|$ が大きくなると $0$ に近づく。したがって $0<a<1$ のときに限り $g'(x)=0$ が2点 $x=\pm c$（$c=\sqrt{a^{-2}-1}>0$）で成立する。このとき $g'$ は $x<-c$ の範囲で負、$-c<x<c$ の範囲で正、$x>c$ の範囲で負だから、$x=-c$ で極小、$x=c$ で極大をもつ。$a\le0$ なら $g'>0$、$a\ge1$ なら $g'\le0$ で符号変化がない（$a=1$ でも $g'=0$ は $x=0$ だけで、前後とも負）。ゆえに求める範囲は $$\boxed{0<a<1}.$$

(3) 関数 $h(x)=1/\sqrt{1+x^2}$ は $0\le x\le1$ の範囲で連続であり、与式は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac1{\sqrt{k^2+n^2}}=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n h\!\left(\frac kn\right)$$ と書ける。これは幅 $1/n$ の右端リーマン和なので、極限は $\displaystyle \int_0^1(1+x^2)^{-1/2}\,dx$ である。置換せず直接微分を確かめると、$\log(x+\sqrt{x^2+1})$ の導関数は $1/\sqrt{x^2+1}$ だから $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\left[\log(x+\sqrt{x^2+1})\right]_0^1=\boxed{\log(1+\sqrt2)}.$$

小問 (1) は一階・二階導関数の符号から単調性、最大値、凹凸を判定する。(2) は導関数の零点と符号変化を調べ、極値がある必要十分条件を得る。(3) は連続関数の右端リーマン和に直し、初等的な原始関数を用いる。詳しい日本語の解答はsolution_latexに記載。 (1)で求めた関数の実際の概形を添付図に示す。図の曲線は $\displaystyle y=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$ で、最大点と変曲点の座標を記した。