島根大学 2011年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

島根大学2011年度第3問

$U=\{k\mid k\text{は自然数},\ 1\leq k\leq25\}$ を全体集合とし， $U$ の部分集合 $A,B$ を次のように定める。 $A=\{k\mid k\in U\text{かつ}k\text{は3の倍数}\},\qquad B=\{k\mid k\in U\text{かつ}k\text{は4の倍数}\}$ このとき，次の問いに答えよ。

(1) 2つの集合 $A\cap B,\ A\cup B$ を，要素を書き並べる方法で表せ。

(2) $m$ と $n$ を自然数とし，2次方程式 $(*)\quad x^2-mx+n=0$ が整数解をもつとする。このとき， $n$ が素数ならば，2次方程式 $(*)$ は1を解としてもつことを証明せよ。

(3) $m,n$ を集合 $\overline{A}\cap\overline{B}$ の要素とする。このとき，2次方程式 $(*)$ の解がすべて2以上の整数となる $(m,n)$ の組をすべて求めよ。ただし， $\overline{A}$ と $\overline{B}$ は，それぞれ $A$ と $B$ の補集合を表す。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$A∩B={12,24}; A∪B={3,4,6,8,9,12,15,16,18,20,21,24}$
(2)
1が解
(3)
$(m,n)=(7,10),(13,22),(10,25)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $A=\{3,6,9,12,15,18,21,24\}$ 、 $B=\{4,8,12,16,20,24\}$ なので $A\cap B=\{12,24\},\quad A\cup B=\{3,4,6,8,9,12,15,16,18,20,21,24\}.$

(2) 整数解を r,s とすると $r+s=m,\ rs=n$ 。素数 n は正なので r,s は同符号で、m が自然数だから両方正である。素数の正の因数分解は1とnなので、どちらかの根は1。

(3) $S=U\setminus(A\cup B)=\{1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,25\}$ 。求める二根を $2\le r\le s$ とすると $m=r+s\in S,\ n=rs\in S$ 。n≦25より $r\le5$ 。r=2では $s=5,11$ だけが条件を満たし、それぞれ $(m,n)=(7,10),(13,22)$ 。r=3では可能な $n=15$ が $m=8\notin S$ 、r=4では $n=20$ が $m=9\notin S$ 。r=5では $s=5$ だけが可能で $(m,n)=(10,25)$ 。従って $(m,n)=(7,10),(13,22),(10,25).$

集合を列挙し、二次方程式の整数根を和と積に置き換えて探索範囲を有限化した。(2)では積が素数であることから根の符号と因数を決定した。

この問題で使う考え方

集合の列挙
解と係数の関係
整数因数の分類

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。