9自治医科大学 2015年 数学 第9問解答・解説

円 $C$ の中心を $O(0,0)$ とすると、半径は $OP=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ である。接線の長さは外部の点 $R$ から引いたものどうしで等しいから $RP=RQ$ であり、また $OP=OQ$ である。したがって $O$ と $R$ はともに線分 $PQ$ の垂直二等分線上にあり、直線 $OR$ は $PQ$ の垂直二等分線となる。この直線は二等辺三角形 $RPQ$ の頂角も二等分するので、$\angle PRO=30^\circ$ である。接点では半径と接線が垂直だから $\angle OPR=90^\circ$。よって直角三角形 $OPR$ で $$\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{OP}{OR}$$ となり、$OR=2OP=4\sqrt{5}$ を得る。一方、距離の公式から $OR^2=8^2+a^2$ なので $$64+a^2=(4\sqrt{5})^2=80.$$ したがって $a^2=16$。条件 $a<0$ より $a=-4$ である。

直線 $OR$ と弦 $PQ$ の交点を $S$ とする。$OR$ は $PQ$ の垂直二等分線だから、$S$ は $PQ$ の中点である。また $\angle POR=60^\circ$ であり、$S$ は $P$ から直線 $OR$ に下ろした垂線の足なので、$S$ は $O$ から $R$ へ向かう半直線上にある。直角三角形 $OPS$ で $$\displaystyle OS=OP\cos 60^\circ=2\sqrt{5}\cdot\frac12=\sqrt{5}.$$ よって $OS/OR=1/4$。$O=(0,0)$、$R=(8,-4)$ だから、内分比より $S=(2,-1)$ となる。$S$ は $P,Q$ の中点なので、$p+q=2x_S=4$。以上から $$|a+p+q|=|-4+4|=0.$$ したがって答えは $0$、選択肢はアである。