8自治医科大学 2015年 数学 第8問解答・解説

点 $A(1,-2,3)$ を $xy$ 平面に関して対称移動した点を $A'(1,-2,-3)$ とする。平面上の任意の点 $P(x,y,0)$ について、$A$ と $A'$ は $xy$ 平面からの高さが等しく反対側にあるので、$AP=A'P$ である。したがって三角不等式より $$AP+PB=A'P+PB\geq A'B=\sqrt{(3-1)^2+(2+2)^2+(2+3)^2}=3\sqrt{5}.$$ この下限が実現することを確かめる。線分 $A'B$ 上の点を $$(1,-2,-3)+t(2,4,5)=(1+2t,-2+4t,-3+5t)\qquad(0\leq t\leq1)$$ と表すと、$\displaystyle t=\frac35$ のとき $z=0$ となる。よって $A'B$ は $xy$ 平面上の点 $\displaystyle P(\frac{11}{5},\frac25,0)$ を通り、この点は線分 $A'B$ 上にある。ここでは三角不等式の等号が成り立つから、最小値は $m=3\sqrt5$ である。したがって $$\displaystyle \frac{m}{\sqrt5}=3.$$ 選択肢は $㋟$ である。