3自治医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

$t=3^x$ とおく。$x>0$ だから $t>1$ である。また、指数法則により $$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=t^2+t^{-2}-\frac{20}{3}(t+t^{-1}). \end{aligned}$$ ここで $u=t+t^{-1}$ とおくと、$t^2+t^{-2}=u^2-2$ より $$\displaystyle f(x)=u^2-\frac{20}{3}u-2 =\left(u-\frac{10}{3}\right)^2-\frac{118}{9}.$$ したがって常に $\displaystyle f(x)\ge -\frac{118}{9}$ である。$x=1$ のとき $t=3$、$\displaystyle u=\frac{10}{3}$ となるので、この下限は実際に達し、最小値である。 $$\displaystyle \left(u-\frac{10}{3}\right)^2=0 \quad\text{すなわち}\quad t+\frac1t=\frac{10}{3} \quad\text{すなわち}\quad 3t^2-10t+3=0 \quad\text{すなわち}\quad (3t-1)(t-3)=0.$$ よって $\displaystyle t=\frac13$ または $t=3$ だが、$t>1$ だから $t=3$ である。底 $3$ の指数関数は単調増加だから、$3^x=3^1$ より $x=1$、すなわち $a=1$ である。