15自治医科大学 2015年 数学 第15問解答・解説

内積を $\vec a\cdot\vec b$ とおく。与えられた長さを2乗すると、 $$45=|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b=25+4-2\vec a\cdot\vec b$$ より、$\vec a\cdot\vec b=-8$ である。したがって、任意の実数 $t$ に対して $$|\vec a+t\vec b|^2=|\vec a|^2+2t\vec a\cdot\vec b+t^2|\vec b|^2=25-16t+4t^2=4(t-2)^2+9\ge 9.$$ 等号は $t=2$ のとき成立する。長さは非負なので、最小値は $m=3$ であり、そのとき $c=2$ である。よって $$\displaystyle \frac{mc}{3}=\frac{3\cdot 2}{3}=2.$$ したがって、該当する選択肢は $\text{（サ）}$ である。